1. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. Найдите AD, если AB = 2, BC = 7:
а) 8 +
б) 16
в) 5
2. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов:
а) 24
б) 12 +
в) 6
3. Даны две параллельные плоскости α и β. Через точки А и В плоскости α проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ=5 см:
а) 10 см
б) 15 см
в) 5 см +
4. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе:
а) 0,006 +
б) 0,06
в) 0,6
5. Найдите корень уравнения log5(4 + х) = 2:
а) 17
б) 12
в) 21 +
6. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч:
а) 60
б) 80 +
в) 70
7. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба:
а) 12
б) 4
в) 6 +
8. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонён к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника:
а) 45° +
б) 50°
в) 30°
9. Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, ровно две из цифр которого совпадают. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных:
а) 0,002
б) 0,006
в) 0,004 +
10. Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника:
а) 12
б) 9 +
в) 7
11. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд:
а) 0,8 +
б) 0,6
в) 0,4
12. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB:
а) 3√2
б) 5√2 +
в) 4√2
13. Найдите корень уравнения х-119/х+7=-5:
а) 14 +
б) 12
в) 16
14. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда:
а) 38
б) 12
в) 64 +
15. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Аня наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней:
а) 0,25 +
б) 0,15
в) 0,20
16. В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB. Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.:
а) 22-12√9
б) 24-12√3 +
в) 24-8√6
17. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание:
а) 0,33
б) 0,23
в) 0,43 +
18. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч:
а) 48
б) 52 +
в) 39
19. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.:
а) 130
б) 112
в) 113 +
20. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно:
а) 12
б) 10 +
в) 8
21. Если высота пирамиды проходит через центр окружности вписанной в основание, то:
а) углы между высотой пирамиды и высотами боковых граней равны +
б) боковые рёбра пирамиды равны
в) углы между высотой пирамиды и боковыми рёбрами равны
22. В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³:
а) 1250
б) 1500 +
в) 1750
23. Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что выпавшие значения совпадают. Ответ округлите до сотых:
а) 0,27
б) 0,14
в) 0,17 +
24. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду:
а) 20
б) 10 +
в) 18
25. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»:
а) 1,25
б) 1,5
в) 1,05 +
26. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника:
а) 11
б) 22 +
в) 20
27. Сколько граней у шестиугольной пирамиды:
а) 7 +
б) 6
в) 8
28. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»:
а) 1,8
б) 1,4
в) 1,2 +
29. Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий:
а) две вершины, не принадлежащие одной грани +
б) любые две вершины многогранника
в) две вершины, принадлежащие одной грани
30. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах:
а) 600
б) 800 +
в) 720